1. 关于二维旋转的理解

关于二维旋转的理解

有这样一张图，解释了二维空间旋转变换的过程，解读如下：变换后的坐标$(x',y')$与原坐标$(x,y)$之间的关系可以理解为坐标轴旋转引起的，坐标轴$xy$逆时针旋转$\alpha$角后变为$x'y'$，相应地，点$a(x,y)$在新的坐标系下的坐标为$(x',y')$，新旧坐标的关系如下所示：

$$\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}$$

大致意思可以概括为：变换后的坐标经由旋转角构成的矩阵相乘后得到变换前的坐标。

之前只理解到这个层面，导致运算的时候非常混乱，在进一步推导其他公式的时候总是在想坐标轴变换以及变换前由变换后相乘得到，越想越乱。

后来进一步思考发现，可以干脆认为坐标轴就是不变的，上述描述中的从$a'$到$a$可以看作是同个坐标轴下的变换，如下图所示。

在同一个坐标轴下从$a'$变换到$a$的绕原点旋转变换可以理解为上图表示的绕坐标轴的变换，二者的计算公式一至。